::DEFINISI MATEMATIKA::

Matematika (dari bahasa Yunani : μαθηματικά - mathēmatiká ) adalah studi besaran, struktur , ruang, dan perubahan. Para matematikawan mencari berbagai pola,[2][3] merumuskan konjektur baru, dan membangun kebenaran
melalui metode deduksi yang kaku dari aksioma-aksioma dan definisi-definisi yang bersesuaian.[4] Terdapat perselisihan tentang
apakah objek-objek
matematika seperti bilangan dan titik hadir secara alami, atau hanyalah buatan
manusia. Seorang
matematikawan Benjamin Peirce menyebut matematika sebagai "ilmu yang
menggambarkan simpulan- simpulan yang penting". [5] Di pihak lain, Albert Einstein menyatakan bahwa "sejauh
hukum-hukum matematika
merujuk kepada kenyataan,
mereka tidaklah pasti; dan
sejauh mereka pasti, mereka
tidak merujuk kepada kenyataan." [6] Melalui penggunaan penalaran logika dan abstraksi , matematika berkembang dari pencacahan, perhitungan , pengukuran , dan pengkajian sistematis terhadap bangun dan pergerakan benda-benda fisika. Matematika praktis
telah menjadi kegiatan
manusia sejak adanya rekaman tertulis . Argumentasi kaku pertama muncul di dalam Matematika Yunani , terutama di dalam karya Euklides , Elemen. Matematika selalu
berkembang, misalnya di Cina pada tahun 300 SM, di India pada tahun 100 M, dan di Arab pada tahun 800 M, hingga
zaman Renaisans , ketika temuan baru matematika
berinteraksi dengan
penemuan ilmiah baru yang
mengarah pada peningkatan
yang cepat di dalam laju
penemuan matematika yang berlanjut hingga kini. [7] Kini, matematika digunakan
di seluruh dunia sebagai alat
penting di berbagai bidang,
termasuk ilmu alam, teknik , kedokteran /medis, dan ilmu sosial seperti ekonomi , dan psikologi . Matematika terapan, cabang matematika
yang melingkupi penerapan
pengetahuan matematika ke
bidang-bidang lain,
mengilhami dan membuat
penggunaan temuan-temuan matematika baru, dan
kadang-kadang mengarah
pada pengembangan disiplin-
disiplin ilmu yang sepenuhnya
baru, seperti statistika dan teori permainan . Para matematikawan juga
bergulat di dalam matematika murni, atau matematika untuk perkembangan
matematika itu sendiri, tanpa
adanya penerapan di dalam
pikiran, meskipun penerapan
praktis yang menjadi latar
munculnya matematika murni ternyata seringkali ditemukan terkemudian. [8] Etimologi Kata "matematika" berasal
dari bahasa Yunani Kuno μάθημα (máthēma ), yang berarti pengkajian,
pembelajaran, ilmu, yang
ruang lingkupnya
menyempit, dan arti
teknisnya menjadi
"pengkajian matematika", bahkan demikian juga pada
zaman kuno. Kata sifatnya
adalah μαθηματικός (mathēmatikós ), berkaitan dengan pengkajian, atau
tekun belajar, yang lebih
jauhnya berarti matematis.
Secara khusus, μαθηματικὴ τέχνη (mathēmatikḗ tékhnē ), di dalam bahasa Latin ars mathematica, berarti seni
matematika. Bentuk jamak sering dipakai
di dalam bahasa Inggris, seperti juga di dalam bahasa Perancis les mathématiques (dan jarang digunakan sebagai
turunan bentuk tunggal la
mathématique), merujuk pada
bentuk jamak bahasa Latin
yang cenderung netral
mathematica ( Cicero), berdasarkan bentuk jamak
bahasa Yunani τα μαθηματικά (ta mathēmatiká ), yang dipakai Aristotle , yang terjemahan kasarnya berarti
"segala hal yang matematis". [9] Tetapi, di dalam bahasa Inggris, kata benda
mathematics mengambil
bentuk tunggal bila dipakai
sebagai kata kerja. Di dalam
ragam percakapan,
matematika kerap kali disingkat sebagai math di
Amerika Utara dan maths di
tempat lain. Sejarah Sebuah quipu, yang dipakai oleh Inca untuk mencatatkan bilangan. Artikel utama untuk bagian ini adalah: Sejarah matematika Evolusi matematika dapat dipandang sebagai sederetan abstraksi yang selalu bertambah banyak, atau
perkataan lainnya perluasan
pokok masalah. Abstraksi
mula-mula, yang juga berlaku pada banyak binatang [10], adalah tentang bilangan: pernyataan bahwa dua apel
dan dua jeruk (sebagai
contoh) memiliki jumlah yang
sama. Selain mengetahui cara mencacah objek-objek fisika, manusia prasejarah juga mengenali cara mencacah
besaran abstrak, seperti waktu — hari, musim, tahun . Aritmetika dasar
(penjumlahan , pengurangan, perkalian , dan pembagian) mengikuti secara alami. Langkah selanjutnya
memerlukan penulisan atau sistem lain untuk
mencatatkan bilangan, semisal
tali atau dawai bersimpul
yang disebut quipu dipakai oleh bangsa Inca untuk menyimpan data numerik. Sistem bilangan ada banyak dan bermacam-macam,
bilangan tertulis yang
pertama diketahui ada di
dalam naskah warisan Mesir Kuno di Kerajaan Tengah Mesir, Lembaran Matematika
Rhind. Sistem bilangan Maya Penggunaan terkuno
matematika adalah di dalam perdagangan, pengukuran tanah , pelukisan , dan pola- pola penenunan dan pencatatan waktu dan tidak
pernah berkembang luas
hingga tahun 3000 SM ke
muka ketika orang Babilonia dan Mesir Kuno mulai menggunakan aritmetika , aljabar , dan geometri untuk penghitungan pajak dan urusan keuangan lainnya,
bangunan dan konstruksi, dan astronomi .[11] Pengkajian matematika yang sistematis
di dalam kebenarannya sendiri
dimulai pada zaman Yunani
Kuno antara tahun 600 dan 300
SM. Matematika sejak saat itu
segera berkembang luas, dan
terdapat interaksi bermanfaat
antara matematika dan sains, menguntungkan kedua belah
pihak. Penemuan-penemuan
matematika dibuat sepanjang
sejarah dan berlanjut hingga
kini. Menurut Mikhail B.
Sevryuk, pada Januari 2006 terbitan Bulletin of the
American Mathematical
Society, "Banyaknya makalah
dan buku yang dilibatkan di
dalam basis data Mathematical
Reviews sejak 1940 (tahun pertama beroperasinya MR)
kini melebihi 1,9 juta, dan
melebihi 75 ribu artikel
ditambahkan ke dalam basis
data itu tiap tahun. Sebagian
besar karya di samudera ini berisi teorema matematika baru beserta bukti- buktinya ."[12] Ilham, matematika murni
dan terapan, dan estetika Sir Isaac Newton (1643-1727), seorang penemu kalkulus infinitesimal . Artikel utama untuk bagian ini adalah: Keindahan
matematika Matematika muncul pada saat
dihadapinya masalah-masalah
yang rumit yang melibatkan
kuantitas, struktur, ruang,
atau perubahan. Mulanya
masalah-masalah itu dijumpai di dalam perdagangan, pengukuran tanah , dan kemudian astronomi ; kini, semua ilmu pengetahuan
menganjurkan masalah-
masalah yang dikaji oleh para
matematikawan, dan banyak
masalah yang muncul di dalam
matematika itu sendiri. Misalnya, seorang fisikawan Richard Feynman menemukan rumus integral lintasan mekanika kuantum menggunakan paduan nalar
matematika dan wawasan
fisika, dan teori dawai masa kini, teori ilmiah yang masih
berkembang yang berupaya
membersatukan empat gaya dasar alami, terus saja mengilhami matematika baru. [13] Beberapa matematika hanya bersesuaian di dalam
wilayah yang mengilhaminya,
dan diterapkan untuk
memecahkan masalah
lanjutan di wilayah itu. Tetapi
seringkali matematika diilhami oleh bukti-bukti di
satu wilayah ternyata
bermanfaat juga di banyak
wilayah lainnya, dan
menggabungkan persediaan
umum konsep-konsep matematika. Fakta yang
menakjubkan bahwa
matematika "paling murni"
sering beralih menjadi
memiliki terapan praktis
adalah apa yang Eugene Wigner memanggilnya sebagai "Ketidakefektifan
Matematika tak ternalar di
dalam Ilmu Pengetahuan Alam". [14] Seperti di sebagian besar
wilayah pengkajian, ledakan
pengetahuan di zaman ilmiah
telah mengarah pada
pengkhususan di dalam
matematika. Satu perbedaan utama adalah di antara matematika murni dan matematika terapan: sebagian
besar matematikawan
memusatkan penelitian
mereka hanya pada satu
wilayah ini, dan kadang-
kadang pilihan ini dibuat sedini perkuliahan program sarjana mereka. Beberapa wilayah matematika terapan
telah digabungkan dengan
tradisi-tradisi yang
bersesuaian di luar
matematika dan menjadi
disiplin yang memiliki hak tersendiri, termasuk statistika , riset operasi , dan ilmu komputer . Mereka yang berminat kepada
matematika seringkali
menjumpai suatu aspek
estetika tertentu di banyak
matematika. Banyak
matematikawan berbicara tentang keanggunan
matematika, estetika yang tersirat, dan keindahan dari dalamnya. Kesederhanaan dan
keumumannya dihargai.
Terdapat keindahan di dalam
kesederhanaan dan
keanggunan bukti yang
diberikan, semisal bukti Euclid yakni bahwa terdapat tak-
terhingga banyaknya bilangan prima, dan di dalam metode numerik yang anggun
bahwa perhitungan laju,
yakni transformasi Fourier cepat. G. H. Hardy di dalam A Mathematician's Apology mengungkapkan keyakinan
bahwa penganggapan
estetika ini, di dalamnya
sendiri, cukup untuk
mendukung pengkajian matematika murni. [15] Para matematikawan sering
bekerja keras menemukan
bukti teorema yang anggun
secara khusus, pencarian Paul
Erdős sering berkutat pada sejenis pencarian akar dari
"Alkitab " di mana Tuhan telah menuliskan bukti-bukti kesukaannya. [16][17] Kepopularan matematika
rekreasi adalah isyarat lain
bahwa kegembiraan banyak
dijumpai ketika seseorang
mampu memecahkan soal-soal
matematika. Notasi, bahasa, dan
kekakuan Leonhard Euler. Mungkin seorang matematikawan yang terbanyak menghasilkan temuan sepanjang masa Artikel utama untuk bagian ini adalah: Notasi matematika Sebagian besar notasi
matematika yang digunakan
saat ini tidaklah ditemukan hingga abad ke-16. [18] Pada abad ke-18, Euler bertanggung jawab atas banyak notasi
yang digunakan saat ini.
Notasi modern membuat
matematika lebih mudah bagi
para profesional, tetapi para
pemula sering menemukannya sebagai
sesuatu yang mengerikan.
Terjadi pemadatan yang amat
sangat: sedikit lambang berisi
informasi yang kaya. Seperti notasi musik , notasi matematika modern memiliki
tata kalimat yang kaku dan
menyandikan informasi yang
barangkali sukar bila
dituliskan menurut cara lain. Bahasa matematika dapat juga terkesan sukar bagi para
pemula. Kata-kata seperti atau
dan hanya memiliki arti yang
lebih presisi daripada di dalam
percakapan sehari-hari. Selain
itu, kata-kata semisal terbuka dan lapangan memberikan arti khusus matematika. Jargon
matematika termasuk istilah-
istilah teknis semisal
homomorfisme dan
terintegralkan. Tetapi ada
alasan untuk notasi khusus dan jargon teknis ini:
matematika memerlukan
presisi yang lebih dari sekadar
percakapan sehari-hari. Para
matematikawan menyebut
presisi bahasa dan logika ini sebagai "kaku" (rigor). Lambang ketakhinggaan ∞ di dalam beberapa gaya sajian. Kaku secara mendasar adalah tentang bukti matematika.
Para matematikawan ingin
teorema mereka mengikuti
aksioma-aksioma dengan
maksud penalaran yang
sistematik. Ini untuk mencegah "teorema " yang salah ambil, didasarkan pada
praduga kegagalan, di mana
banyak contoh pernah muncul di dalam sejarah subjek ini. [19] Tingkat kekakuan diharapkan
di dalam matematika selalu
berubah-ubah sepanjang
waktu: bangsa Yunani menginginkan dalil yang
terperinci, namun pada saat
itu metode yang digunakan Isaac Newton kuranglah kaku. Masalah yang melekat
pada definisi-definisi yang
digunakan Newton akan
mengarah kepada munculnya
analisis saksama dan bukti
formal pada abad ke-19. Kini, para matematikawan masih
terus beradu argumentasi
tentang bukti berbantuan-
komputer. Karena
perhitungan besar sangatlah
sukar diperiksa, bukti-bukti itu mungkin saja tidak cukup kaku. [20] Aksioma menurut pemikiran tradisional adalah "kebenaran
yang menjadi bukti dengan
sendirinya", tetapi konsep ini
memicu persoalan. Pada
tingkatan formal, sebuah
aksioma hanyalah seutas dawai lambang, yang hanya
memiliki makna tersirat di
dalam konteks semua rumus
yang terturunkan dari suatu
sistem aksioma. Inilah tujuan
program Hilbert untuk meletakkan semua
matematika pada sebuah basis
aksioma yang kokoh, tetapi
menurut Teorema
ketaklengkapan Gödel tiap-
tiap sistem aksioma (yang cukup kuat) memiliki rumus-
rumus yang tidak dapat
ditentukan; dan oleh karena
itulah suatu aksiomatisasi
terakhir di dalam matematika
adalah mustahil. Meski demikian, matematika sering
dibayangkan (di dalam
konteks formal) tidak lain
kecuali teori himpunan di beberapa aksiomatisasi,
dengan pengertian bahwa
tiap-tiap pernyataan atau
bukti matematika dapat
dikemas ke dalam rumus- rumus teori himpunan. [21] Matematika sebagai ilmu
pengetahuan Carl Friedrich Gauss, menganggap dirinya sebagai "pangerannya para matematikawan", dan mengatakan matematika sebagai "Ratunya Ilmu Pengetahuan". Carl Friedrich Gauss mengatakan matematika
sebagai "Ratunya Ilmu Pengetahuan". [22] Di dalam bahasa aslinya, Latin Regina
Scientiarum, juga di dalam bahasa Jerman Königin der Wissenschaften, kata yang
bersesuaian dengan ilmu
pengetahuan berarti
(lapangan) pengetahuan. Jelas,
inipun arti asli di dalam bahasa
Inggris, dan tiada keraguan bahwa matematika di dalam
konteks ini adalah sebuah
ilmu pengetahuan.
Pengkhususan yang
mempersempit makna
menjadi ilmu pengetahuan alam adalah di masa
terkemudian. Bila seseorang
memandang ilmu pengetahuan hanya terbatas pada dunia fisika, maka
matematika, atau sekurang-
kurangnya matematika murni, bukanlah ilmu pengetahuan. Albert Einstein menyatakan bahwa "sejauh
hukum-hukum matematika
merujuk kepada kenyataan,
maka mereka tidaklah pasti;
dan sejauh mereka pasti,
mereka tidak merujuk kepada kenyataan." [6] Banyak filsuf yakin bahwa
matematika tidaklah
terpalsukan berdasarkan
percobaan, dan dengan
demikian bukanlah ilmu
pengetahuan per definisi Karl Popper.[23] Tetapi, di dalam karya penting tahun 1930-an
tentang logika matematika
menunjukkan bahwa
matematika tidak bisa
direduksi menjadi logika, dan
Karl Popper menyimpulkan bahwa "sebagian besar teori
matematika, seperti halnya fisika dan biologi, adalah hipotetis -deduktif: oleh karena itu matematika
menjadi lebih dekat ke ilmu
pengetahuan alam yang
hipotesis-hipotesisnya adalah
konjektur (dugaan), lebih
daripada sebagai hal yang baru."[24] Para bijak bestari lainnya, sebut saja Imre
Lakatos, telah menerapkan
satu versi pemalsuan kepada matematika itu sendiri. Sebuah tinjauan alternatif
adalah bahwa lapangan-
lapangan ilmiah tertentu
(misalnya fisika teoretis ) adalah matematika dengan
aksioma-aksioma yang
ditujukan sedemikian
sehingga bersesuaian dengan
kenyataan. Faktanya, seorang
fisikawan teoretis, J. M. Ziman, mengajukan pendapat
bahwa ilmu pengetahuan
adalah pengetahuan umum
dan dengan demikian
matematika termasuk di dalamnya. [25] Di beberapa kasus, matematika banyak
saling berbagi dengan ilmu
pengetahuan fisika, sebut saja
penggalian dampak-dampak
logis dari beberapa anggapan.
Intuisi dan percobaan juga berperan penting di dalam
perumusan konjektur - konjektur, baik itu di
matematika, maupun di ilmu-
ilmu pengetahuan (lainnya).
Matematika percobaan terus
bertumbuh kembang,
mengingat kepentingannya di dalam matematika, kemudian
komputasi dan simulasi
memainkan peran yang
semakin menguat, baik itu di
ilmu pengetahuan, maupun di
matematika, melemahkan objeksi yang mana
matematika tidak
menggunakan metode ilmiah . Di dalam bukunya yang
diterbitkan pada 2002 A New
Kind of Science, Stephen
Wolfram berdalil bahwa
matematika komputasi
pantas untuk digali secara empirik sebagai lapangan ilmiah di dalam haknya/
kebenarannya sendiri. Pendapat-pendapat para
matematikawan terhadap hal
ini adalah beraneka macam.
Banyak matematikawan
merasa bahwa untuk
menyebut wilayah mereka sebagai ilmu pengetahuan
sama saja dengan
menurunkan kadar
kepentingan sisi estetikanya,
dan sejarahnya di dalam tujuh
seni liberal tradisional; yang lainnya merasa bahwa
pengabaian pranala ini
terhadap ilmu pengetahuan
sama saja dengan memutar-
mutar mata yang buta
terhadap fakta bahwa antarmuka antara
matematika dan
penerapannya di dalam ilmu
pengetahuan dan rekayasa telah mengemudikan banyak
pengembangan di dalam
matematika. Satu jalan yang
dimainkan oleh perbedaan
sudut pandang ini adalah di
dalam perbincangan filsafat apakah matematika
diciptakan (seperti di dalam
seni) atau ditemukan (seperti
di dalam ilmu pengetahuan).
Adalah wajar bagi universitas bila dibagi ke dalam bagian-
bagian yang menyertakan
departemen Ilmu
Pengetahuan dan Matematika,
ini menunjukkan bahwa
lapangan-lapangan itu dipandang bersekutu tetapi
mereka tidak seperti dua sisi
keping uang logam. Pada
tataran praktisnya, para
matematikawan biasanya
dikelompokkan bersama- sama para ilmuwan pada
tingkatan kasar, tetapi
dipisahkan pada tingkatan
akhir. Ini adalah salah satu
dari banyak perkara yang
diperhatikan di dalam filsafat matematika . Penghargaan matematika
umumnya dipelihara supaya
tetap terpisah dari
kesetaraannya dengan ilmu
pengetahuan. Penghargaan
yang adiluhung di dalam matematika adalah Fields Medal (medali lapangan), [26] [27] dimulakan pada 1936 dan kini diselenggarakan tiap
empat tahunan. Penghargaan
ini sering dianggap setara
dengan Hadiah Nobel ilmu pengetahuan. Wolf Prize in
Mathematics, dilembagakan
pada 1978, mengakui masa
prestasi, dan penghargaan
internasional utama lainnya,
Hadiah Abel, diperkenalkan pada 2003. Ini dianugerahkan
bagi ruas khusus karya, dapat
berupa pembaharuan, atau
penyelesaian masalah yang
terkemuka di dalam lapangan
yang mapan. Sebuah daftar terkenal berisikan 23 masalah terbuka , yang disebut "masalah Hilbert", dihimpun
pada 1900 oleh
matematikawan Jerman David Hilbert . Daftar ini meraih persulangan yang besar di
antara para matematikawan,
dan paling sedikit sembilan
dari masalah-masalah itu kini
terpecahkan. Sebuah daftar
baru berisi tujuh masalah penting, berjudul "Masalah
Hadiah Milenium", diterbitkan
pada 2000. Pemecahan tiap-
tiap masalah ini berhadiah US$ 1 juta, dan hanya satu
(hipotesis Riemann) yang
mengalami penggandaan di
dalam masalah-masalah
Hilbert. Bidang-bidang
matematika Sebuah sempoa, alat hitung sederhana yang dipakai sejak zaman kuno. Disiplin-disiplin utama di dalam
matematika pertama muncul
karena kebutuhan akan
perhitungan di dalam
perdagangan, untuk
memahami hubungan antarbilangan, untuk
mengukur tanah, dan untuk
meramal peristiwa astronomi . Empat kebutuhan ini secara
kasar dapat dikaitkan dengan
pembagian-pembagian kasar
matematika ke dalam
pengkajian besaran, struktur,
ruang, dan perubahan (yakni aritmetika , aljabar , geometri , dan analisis). Selain pokok bahasan itu, juga terdapat
pembagian-pembagian yang
dipersembahkan untuk
pranala-pranala penggalian
dari jantung matematika ke
lapangan-lapangan lain: ke logika , ke teori himpunan (dasar), ke matematika
empirik dari aneka macam
ilmu pengetahuan
(matematika terapan), dan
yang lebih baru adalah ke
pengkajian kaku akan ketakpastian . Besaran Pengkajian besaran dimulakan
dengan bilangan, pertama bilangan asli dan bilangan bulat ("semua bilangan") dan operasi aritmetika di ruang
bilangan itu, yang
dipersifatkan di dalam aritmetika . Sifat-sifat yang lebih dalam dari bilangan bulat
dikaji di dalam teori bilangan , dari mana datangnya hasil-
hasil popular seperti Teorema Terakhir Fermat . Teori bilangan juga memegang dua
masalah tak terpecahkan:
konjektur prima kembar dan konjektur Goldbach . Karena sistem bilangan
dikembangkan lebih jauh,
bilangan bulat diakui sebagai himpunan bagian dari bilangan rasional ("pecahan"). Sementara bilangan pecahan
berada di dalam bilangan real, yang dipakai untuk
menyajikan besaran-besaran kontinu . Bilangan real diperumum menjadi bilangan kompleks . Inilah langkah pertama dari jenjang bilangan
yang beranjak menyertakan
kuarternion dan oktonion.
Perhatian terhadap bilangan
asli juga mengarah pada
bilangan transfinit, yang memformalkan konsep
pencacahan ketakhinggaan.
Wilayah lain pengkajian ini
adalah ukuran, yang
mengarah pada bilangan
kardinal dan kemudian pada konsepsi ketakhinggaan
lainnya: bilangan aleph, yang
memungkinkan perbandingan
bermakna tentang ukuran
himpunan-himpunan besar
ketakhinggaan. Bilangan asli Bilangan bulat Bilangan rasional Bilangan real Bilangan kompleks Ruang Pengkajian ruang bermula
dengan geometri – khususnya, geometri euclid. Trigonometri memadukan ruang dan bilangan, dan
mencakupi Teorema pitagoras
yang terkenal. Pengkajian
modern tentang ruang
memperumum gagasan-
gagasan ini untuk menyertakan geometri
berdimensi lebih tinggi,
geometri tak-euclid (yang
berperan penting di dalam relativitas umum ) dan topologi . Besaran dan ruang berperan penting di dalam
geometri analitik, geometri
diferensial, dan geometri
aljabar. Di dalam geometri
diferensial terdapat konsep-
konsep buntelan serat dan kalkulus lipatan. Di dalam
geometri aljabar terdapat
penjelasan objek-objek
geometri sebagai himpunan
penyelesaian persamaan
polinom, memadukan konsep- konsep besaran dan ruang,
dan juga pengkajian grup
topologi, yang memadukan
struktur dan ruang. Grup lie
biasa dipakai untuk mengkaji
ruang, struktur, dan perubahan. Topologi di dalam banyak percabangannya
mungkin menjadi wilayah
pertumbuhan terbesar di
dalam matematika abad
ke-20, dan menyertakan
konjektur poincaré yang telah lama ada dan teorema empat
warna, yang hanya "berhasil"
dibuktikan dengan komputer,
dan belum pernah dibuktikan
oleh manusia secara manual. Geometri Trigonometri Geometri diferensial Topologi Geometri fraktal Perubahan Memahami dan menjelaskan
perubahan adalah tema biasa
di dalam ilmu pengetahuan alam, dan kalkulus telah berkembang sebagai alat yang
penuh-daya untuk
menyeledikinya. Fungsi- fungsi muncul di sini, sebagai konsep penting untuk
menjelaskan besaran yang
berubah. Pengkajian kaku
tentang bilangan real dan fungsi-fungsi berpeubah real
dikenal sebagai analisis real,
dengan analisis kompleks
lapangan yang setara untuk bilangan kompleks . Hipotesis Riemann, salah satu masalah
terbuka yang paling mendasar
di dalam matematika,
dilukiskan dari analisis
kompleks. Analisis fungsional
memusatkan perhatian pada ruang fungsi (biasanya berdimensi tak-hingga). Satu
dari banyak terapan analisis
fungsional adalah mekanika kuantum . Banyak masalah secara alami mengarah pada
hubungan antara besaran dan
laju perubahannya, dan ini
dikaji sebagai persamaan diferensial . Banyak gejala di alam dapat dijelaskan
menggunakan sistem
dinamika; teori kekacauan
mempertepat jalan-jalan di
mana banyak sistem ini
memamerkan perilaku deterministik yang masih saja
belum terdugakan. Kalkulus Kalkulus vektor Persamaan diferensial Sistem dinamika Teori chaos Analisis kompleks Struktur Banyak objek matematika,
semisal himpunan bilangan dan fungsi , memamerkan struktur bagian dalam. Sifat-
sifat struktural objek-objek
ini diselidiki di dalam
pengkajian grup, gelanggang, lapangan dan sistem abstrak lainnya, yang mereka sendiri
adalah objek juga. Ini adalah
lapangan aljabar abstrak . Sebuah konsep penting di sini
yakni vektor , diperumum menjadi ruang vektor , dan dikaji di dalam aljabar linear . Pengkajian vektor
memadukan tiga wilayah
dasar matematika: besaran,
struktur, dan ruang. Kalkulus vektor memperluas lapangan itu ke dalam wilayah dasar
keempat, yakni perubahan.
Kalkulus tensor mengkaji kesetangkupan dan perilaku vektor yang di rotasi . Sejumlah masalah kuno
tentang Kompas dan
konstruksi garis lurus
akhirnya terpecahkan oleh
Teori galois. Teori bilangan Aljabar abstrak Teori grup Teori orde Dasar dan filsafat Untuk memeriksa dasar-dasar
matematika, lapangan logika matematika dan teori himpunan dikembangkan, juga teori kategori yang masih dikembangkan. Kata
majemuk "krisis dasar"
mejelaskan pencarian dasar
kaku untuk matematika yang
mengambil tempat pada dasawarsa 1900-an sampai 1930-an.[28] Beberapa ketaksetujuan tentang dasar-
dasar matematika berlanjut
hingga kini. Krisis dasar dipicu
oleh sejumlah silang sengketa
pada masa itu, termasuk
kontroversi teori himpunan Cantor dan kontroversi
Brouwer-Hilbert. Logika matematika
diperhatikan dengan
meletakkan matematika pada
sebuah kerangka kerja
aksiomatis yang kaku, dan
mengkaji hasil-hasil kerangka kerja itu. Logika matematika
adalah rumah bagi Teori
ketaklengkapan kedua Gödel,
mungkin hasil yang paling
dirayakan di dunia logika,
yang (secara informal) berakibat bahwa suatu sistem
formal yang berisi aritmetika
dasar, jika suara (maksudnya
semua teorema yang dapat
dibuktikan adalah benar),
maka tak-lengkap (maksudnya terdapat
teorema sejati yang tidak
dapat dibuktikan di dalam
sistem itu). Gödel
menunjukkan cara
mengonstruksi, sembarang kumpulan aksioma bilangan
teoretis yang diberikan,
sebuah pernyataan formal di
dalam logika yaitu sebuah
bilangan sejati-suatu fakta
teoretik, tetapi tidak mengikuti aksioma-aksioma
itu. Oleh karena itu, tiada
sistem formal yang
merupakan aksiomatisasi
sejati teori bilangan
sepenuhnya. Logika modern dibagi ke dalam teori rekursi,
teori model, dan teori
pembuktian, dan terpaut
dekat dengan ilmu komputer teoretis. Logika matematika Teori himpunan Teori kategori Matematika diskret Matematika diskret adalah nama lazim untuk lapangan
matematika yang paling
berguna di dalam ilmu
komputer teoretis. Ini
menyertakan teori
komputabilitas, teori kompleksitas komputasional,
dan teori informasi . Teori komputabilitas memeriksa
batasan-batasan berbagai
model teoretis komputer,
termasuk model yang dikenal
paling berdaya - Mesin turing . Teori kompleksitas adalah
pengkajian traktabilitas oleh
komputer; beberapa masalah,
meski secara teoretis
terselesaikan oleh komputer,
tetapi cukup mahal menurut konteks waktu dan ruang,
tidak dapat dikerjakan secara
praktis, bahkan dengan
cepatnya kemajuan perangkat keras komputer. Pamungkas, teori informasi
memusatkan perhatian pada
banyaknya data yang dapat
disimpan pada media yang
diberikan, dan oleh karenanya
berkenaan dengan konsep- konsep semisal pemadatan
dan entropi. Sebagai lapangan yang relatif
baru, matematika diskret
memiliki sejumlah masalah
terbuka yang mendasar. Yang
paling terkenal adalah masalah
"P=NP?", salah satu Masalah Hadiah Milenium.[29] Kombinatorika Teori komputasi Kriptografi Teori graf Matematika terapan Matematika terapan
berkenaan dengan
penggunaan alat matematika
abstrak guna memecahkan
masalah-masalah konkret di
dalam ilmu pengetahuan , bisnis, dan wilayah lainnya. Sebuah lapangan penting di
dalam matematika terapan
adalah statistika , yang menggunakan teori peluang
sebagai alat dan
membolehkan penjelasan,
analisis, dan peramalan gejala
di mana peluang berperan penting. Sebagian besar
percobaan, survey, dan
pengkajian pengamatan
memerlukan statistika.
(Tetapi banyak statistikawan , tidak menganggap mereka
sendiri sebagai
matematikawan, melainkan
sebagai kelompok sekutu.) Analisis numerik menyelidiki metode komputasional untuk
memecahkan masalah-
masalah matematika secara
efisien yang biasanya terlalu
lebar bagi kapasitas numerik
manusia; analisis numerik melibatkan pengkajian galat
pemotongan atau sumber-
sumber galat lain di dalam
komputasi. Fisika matematika Mekanika fluida Analisis numerik Optimisasi Teori peluang Statistika Matematika keuangan Teori permainan Biologi matematika Kimia matematika Ekonomi matematika Teori kontrol Lihat pula Daftar simbol matematika Definisi matematika Dyscalculia Daftar topik matematika
dasar Daftar topik matematika Mathematical anxiety Permainan matematis Model matematika Masalah matematika Struktur matematika Matematika dan seni Lomba matematika Pendidikan matematika Portal Matematika Pola Filsafat matematika Abacus Tulang Napier, Jangka sorong Penggaris dan Kompas Perhitungan biasa Kalkulator dan komputer Bahasa pemrograman Sistem komputer aljabar Notasi sederhana Internet Analisis statistik software SPSS SAS R Catatan 1. ^ Tidak ada perupaan atau penjelasan tentang wujud
fisik Euklides yang dibuat
selama masa hidupnya
yang masih bertahan
sebagai kekunoan. Oleh
karena itu, penggambaran Euklides di dalam karya
seni bergantung pada daya
khayal seorang seniman
(lihat Euklides ). 2. ^ Lynn Steen (29 April 1988). The Science of
Patterns Jurnal Science, 240:
611–616. dan diikhtisarkan di Association for Supervision and Curriculum
Development. , ascd.org 3. ^ Keith Devlin, Mathematics: The Science of
Patterns: The Search for
Order in Life, Mind and the
Universe (Scientific
American Paperback
Library) 1996, ISBN 978-0-7167-5047-5 4. ^ Jourdain. 5. ^ Peirce, p.97 6. ^ a b Einstein, p. 28. Kutipan ini adalah jawaban Einstein
terhadap pertanyaan:
"betapa mungkin bahwa
matematika, di samping
yang lain tentunya,
menjadi ciptaan pemikiran manusia yang terbebas dari
pengalaman, begitu luar
biasa bersesuaian dengan
objek-objek kenyataan?"
Dia juga memperhatikan
Keefektifan tak ternalar Matematika di dalam Ilmu
Pengetahuan Alam. 7. ^ Eves 8. ^ Peterson 9. ^ The Oxford Dictionary of English Etymology, Oxford English Dictionary 0. ^ S. Dehaene, G. Dehaene- Lambertz and L. Cohen,
Abstract representations of
numbers in the animal and
human brain, Trends in
Neuroscience, Vol. 21 (8),
Aug 1998, 355-361. http:// dx.doi.org/10.1016/
S0166-2236(98)01263-6 . 1. ^ Kline 1990, Chapter 1. 2. ^ Sevryuk 3. ^ Johnson, Gerald W.; Lapidus, Michel L. (2002).
The Feynman Integral and
Feynman's Operational
Calculus. Oxford University
Press. 4. ^ Eugene Wigner , 1960, "The Unreasonable Effectiveness of
Mathematics in the Natural
Sciences," Komunikasi pada Matematika Murni dan
Terapan 13(1): 1 –14. 5. ^ Hardy, G. H. (1940). A Mathematician's Apology.
Cambridge University Press. 6. ^ Gold, Bonnie; Simons, Rogers A. (2008). Proof and
Other Dilemmas:
Mathematics and
Philosophy. MAA. 7. ^ Aigner, Martin; Ziegler, Gunter M. (2001). Proofs
from the Book. Springer. 8. ^ Penggunaan Aneka Lambang Matematika
Terdini (memuat banyak referensi yang lebih jauh) 9. ^ Lihatlah bukti palsu untuk contoh sederhana
dari hal-hal yang bisa salah
di dalam bukti formal.
sejarah Teorema Empat
Warna berisi contoh-contoh
bukti-bukti salah yang tanpa sengaja diterima oleh
para matematikawan
lainnya pada saat itu. 0. ^ Ivars Peterson, Wisatawan Matematika,
Freeman, 1988, ISBN 0-7167-1953-3. p. 4 "Sedikit keluhan akan
ketidakmampuan program
komputer memeriksa
secara wajar," (merujuk
kepada bukti Haken-Apple
terhadap Teorema Empat Warna). 1. ^ Patrick Suppes, Axiomatic Set Theory,
Dover, 1972, ISBN 0-486-61630-4. p. 1, "Di antara banyak cabang
matematika modern, teori
himpunan menduduki
tempat yang unik: dengan
sedikit pengecualian,
entitas-entitas yang dikaji dan dianalisis di dalam
matematika dapat
dipandang sebagai
himpunan khusus atau
kelas-kelas objek tertentu." 2. ^ Waltershausen 3. ^ Shasha, Dennis Elliot; Lazere, Cathy A. (1998). Out
of Their Minds: The Lives
and Discoveries of 15 Great
Computer Scientists.
Springer. hlm. 228. 4. ^ Popper 1995, p. 56 5. ^ Ziman 6. ^ "Fields Medal kini disepakati paling dikenal
dan paling berpengaruh di
dalam matematika."
Monastyrsky 7. ^ Riehm 8. ^ Luke Howard Hodgkin & Luke Hodgkin, A History of
Mathematics, Oxford
University Press, 2005. 9. ^ Clay Mathematics Institute P=NP Referensi Benson, Donald C., The
Moment of Proof:
Mathematical
Epiphanies, Oxford
University Press, USA;
New Ed edition (December 14, 2000). ISBN 0-19-513919-4. Boyer, Carl B., A History
of Mathematics, Wiley; 2
edition (March 6, 1991). ISBN 0-471-54397-7. — A concise history of
mathematics from the
Concept of Number to
contemporary
Mathematics. Courant, R. and H.
Robbins, What Is
Mathematics? : An
Elementary Approach
to Ideas and Methods,
Oxford University Press, USA; 2 edition (July 18,
1996). ISBN 0-19-510519-2. Davis, Philip J. and Hersh,
Reuben, The
Mathematical
Experience. Mariner
Books; Reprint edition
(January 14, 1999). ISBN 0-395-92968-7. — A gentle introduction to
the world of
mathematics. Einstein, Albert (1923). Sidelights on Relativity
(Geometry and
Experience). P. Dutton.,
Co. Eves, Howard, An
Introduction to the
History of Mathematics,
Sixth Edition, Saunders,
1990, ISBN 0-03-029558-0. Gullberg, Jan,
Mathematics — From the Birth of Numbers.
W. W. Norton &
Company; 1st edition
(October 1997). ISBN 0-393-04002-X . — An encyclopedic overview
of mathematics
presented in clear,
simple language. Hazewinkel, Michiel
(ed.), Encyclopaedia of
Mathematics. Kluwer
Academic Publishers
2000. — A translated and expanded version
of a Soviet mathematics
encyclopedia, in ten
(expensive) volumes,
the most complete and
authoritative work available. Also in
paperback and on CD-
ROM, and online [1]. Jourdain, Philip E. B., The
Nature of Mathematics,
in The World of
Mathematics, James R.
Newman, editor, Dover,
2003, ISBN 0-486-43268-8. Kline, Morris,
Mathematical Thought
from Ancient to Modern
Times, Oxford
University Press, USA;
Paperback edition (March 1, 1990). ISBN 0-19-506135-7. Monastyrsky, Michael.
"Some Trends in Modern Mathematics and the
Fields Medal" (PDF). Canadian Mathematical
Society. Diakses pada 28
Juli 2006. Oxford English
Dictionary , second edition, ed. John
Simpson and Edmund
Weiner, Clarendon Press,
1989, ISBN 0-19-861186-2. The Oxford Dictionary
of English Etymology,
1983 reprint. ISBN 0-19-861112-9. Pappas, Theoni, The Joy
Of Mathematics, Wide
World Publishing;
Revised edition (June
1989). ISBN 0-933174-65-9. Peirce, Benjamin. "Linear Associative Algebra" . American Journal of
Mathematics (Vol. 4, No.
1/4. (1881). JSTOR. Peterson, Ivars,
Mathematical Tourist,
New and Updated
Snapshots of Modern
Mathematics, Owl
Books, 2001, ISBN 0-8050-7159-8. Paulos, John Allen
(1996). A Mathematician
Reads the Newspaper.
Anchor. ISBN 0-385-48254-X . Popper, Karl R. (1995). "On knowledge". In
Search of a Better
World: Lectures and
Essays from Thirty
Years. Routledge. ISBN 0-415-13548-6. Riehm, Carl (August
2002). "The Early History of the Fields
Medal" (PDF). Notices of the AMS (AMS) 49 (7): 778–782. Sevryuk, Mikhail B.
(January 2006). "Book Reviews" (PDF). Bulletin of the American
Mathematical Society 43 (1): 101 –109. doi:10.1090/ S0273-0979-05-01069-4. Diakses pada 24 Juni
2006. Waltershausen,
Wolfgang Sartorius von
(1856, repr. 1965). Gauss zum Gedächtniss . Sändig Reprint Verlag H. R.
Wohlwend. ISBN 3-253-01702-8. Ziman, J.M., F.R.S..
"Public Knowledge:An essay concerning the
social dimension of
science".